Lógica
Resumiendo, diremos que una lógica consta de lo siguiente:
1. Un sistema formal para describir lo que está sucediendo en un momento determinado, y que consta de :
La sintaxis del lenguaje, que explica cómo construir oraciones.
La semántica del
lenguaje, que especifica las restricciones sistemáticas sobre cómo se
relacionan las oraciones con aquello que está sucediendo.
2. La teoría de la demostración: un conjunto de reglas para deducir las implicaciones de un conjunto de oraciones.
Nos
concentraremos en dos tipos de lógica: la propositiva o lógica booleana
y la lógica de primer orden (más exactamente, el cálculo de predicado
de primer orden con igualdad).
En
la lógica propositiva los símbolos representan proposiciones completas
(hechos. Los símbolos de proposiciones pueden combinarse usando los
conectivos booleanos para generar oraciones de significado más complejo.
Una lógica como esta poco se preocupa por la manera de representar las
cosas, por ello no es sorprendente que no ofrezca mucho como lenguaje de
representación.
La
lógica de primer orden (también conocida como cálculo de predicados de
primer orden) se preocupa por la representación de los mundos en
términos de objetos y predicados sobre objetos (es decir, propiedades de
los objetos o relaciones entre los objetos), así como del uso de
conectivos y cuantificadores, mediante los cuales se pueden escribir
oraciones sobre todo lo que pasa en el universo, a un mismo tiempo.
Lógica Propositiva
La
lógica propositiva permite ilustrar muchos de los conceptos de la
lógica así como también la lógica de primer orden. Se explicará su
sintaxis, semántica y respectivos procedimientos de inferencia.
Sintaxis
La sintaxis de la lógica propositiva es sencilla. Los símbolos utilizados en la lógica propositiva son las constantes lógicas Verdadero y Falso,
símbolos de proposiciones tales como P y Q, los conectivos lógicos ˄,
˅, <=>, =>, y ¬ y paréntesis ( ). Todas las oraciones se forman
combinando los signos anteriores mediante las siguientes reglas:
Las constantes lógicas Verdadero y Falso constituyen oraciones en sí mismo.
Encerrar entre paréntesis una oración produce también una oración, por ejemplo (PËQ).
Una oración se forma combinando oraciones más sencillas con uno de los cinco conectores lógicos:
o Ë (y). Se le denomina conjunción (lógica).
o V (o). Se le denomina disyunción.
o → (implica). Se conoce como implicación (o condicional).
o ↔ (equivalente). La oración es una equivalencia (también conocida como bicondicional).
o ¬ (no). Se le conoce como negación.
En la gramática se representan oraciones atómicas, que en la lógica propositiva se representan mediante un solo signo (por ejemplo, P) y las oraciones complejas, que constan de conectores o paréntesis (por ejemplo, PËQ). También se utiliza el término literal, que representa oraciones atómicas o una oración atómica negada.
Terminos y Oraciones
Términos
Un término es
una expresión lógica que se refiere a un objeto. Por lo tanto, los
signos de constante son términos. A veces es más práctico utilizar una
expresión para referirse a un objeto. Por ejemplo, en español se
utilizaría la expresión “La pierna izquierda del rey Juan”, en vez de
asignar un nombre a su pierna. Para eso son los signos de funciones: en
vez de utilizar un signo de constante, se emplea PiernaIzquierdaDe(Juan).
La
semántica formal de los términos es muy directa. Mediante una
interpretación se especifica la relación funcional a la que alude el
signo de función y los objetos a los que se alude mediante los términos
que son sus argumentos. Así, el término complejo se refiere al objeto
que aparece en la entrada número (n+1) de esa tupla en la relación cuyos
primeros n elementos son los objetos a que aluden los argumentos. Es decir, el signo de función PiernaIzquierdaDe podría hacer referencia a la siguiente relación funcional:
{<Juan, pierna izquierda del rey Juan,>
<Ricardo Corazón de León, pierna izquierda de Ricardo>}
Y si el Rey Juan se refiere al rey Juan, entonces PiernaIzquierdaDe(ReyJuan) se refiere, de acuerdo con la relación, a la pierna izquierda del rey Juan.
Oraciones atómicas
Ahora
que ya contamos con términos para referirnos a objetos y signos de
predicado para referirnos a relaciones, combinémoslos para formar
oraciones atómicas, mediante las que se afirman hechos. Una oración
atómica está formada por un signo de predicado y por una lista de
términos entre paréntesis.
EJEMPLO:
Hermano(Ricardo,Juan)
Afirma, de acuerdo con la interpretación establecida anteriormente, que
Ricardo Corazón de León es el hermano del rey Juan. Las oraciones
atómicas pueden llegar a tener argumentos que son términos complejos:
Casado(PadreDe(Ricardo),MadreDe(Juan))
Afirma
que el padre de Ricardo Corazón de León está casado con la medre del
rey Juan (nuevamente de acuerdo con la interpretación correspondiente). Se dice que una oración atómica es verdadera si la relación a la que alude el signo de predicado es válida para los objetos a los que aluden los argumentos.
La relación se cumple solo en caso de que la tupla de objetos esté en
la relación. Por lo tanto, la validez de una oración dependerá tanto de
la interpretación como del mundo.
Oraciones complejas
Mediante los conectores lógicos se
pueden construir oraciones más complicadas, como en el cálculo
proposicional. La semántica de las oraciones formadas utilizando los
conectores lógicos es idéntica a la del caso de las proposiciones.
EJEMPLO:
Hermano(Ricardo, Juan)^ Hermano(Juan, Ricardo) es verdadera sólo cuando Juan es el hermano de Ricardo y Ricardo es el hermano de Juan.
Mayor(Juan, 30)v Menor(Juan, 30) es verdadera sólo cuando Juan es mayor de 30 o Juan es más joven de 30.
Mayor(Juan, 30)=> ¬ Menor(Juan, 30) está diciendo que si Juan tiene más de 30, entonces no tiene menos de 30 años.
¬Hermano(Robin, Juan) es verdadera sólo si Robin no es hermano de Juan.
Cuantificadores
Ahora
que ya contamos con una lógica que admite objetos, es natural el deseo
de expresar propiedades de grupos complejos de objetos en vez de
enumerarlos por su nombre. Loscuantificadores nos permiten hacer esto. La lógica de primer orden contiene dos cuantificadores estándar, denominados universales y existenciales.
Cuantificación universal (∀)
Recuérdese
las dificultades que se presentaron con el problema de expresión de
reglas generales en lógica proposicional. Reglas tales como “Todos Los
gatos son mamíferos” son el pan cotidiano de la lógica de primer orden.
Para expresar esta regla particular se emplearán los predicadores
unarios Gato y Mamífero; en consecuencia, “Mancha es un gato” se representa de la siguiente manera: Gato(Mancha); y “Mancha es mamífero” por: Mamífero(Mancha). En español, lo que se intenta expresar es que por cualquier objeto x, si x es un gato, entonces x es un mamífero. La lógica de primer orden nos permite realizar lo anterior de la siguiente manera:
∀xGato(x)ÞMamífero(x)
∀ en general se lee como “Para Todo…” Recuerde que esta A invertida representa “todo”. Por ejemplo, la oración ∀xP, en donde P es
cualquier expresión lógica, equivaldría a la conjunción (es decir, a ^)
de todas las oraciones que se obtiene al sustituir el nombre de un
objeto por la variablex, siempre que aparezca en P. Por lo tanto, la oración anterior equivale a:
Gato(Mancha)=>Mamífero(Mancha)^
Gato(Rebeca)=>Mamífero(Rebeca)^
Gato(Félix)=>Mamífero(Félix)^
Gato(Ricardo)=>Mamífero(Ricardo)^
Gato(Juan)=>Mamífero(Juan)^
Por lo tanto será válida si y sólo si todas estas oraciones también son verdaderas, es decir, si Pes verdadera para todos los objetos x del universo. Por lo tanto, a ∀ se le denomina cuantificadoruniversal.
Cuantificador existencial (Ǝ)
En
el caso de la cuantificación existencial se hacen afirmaciones sobre
cualquier objeto. Asimismo, también se pueden hacer afirmaciones acerca
de algún objeto en el universo sin tener que nombrarlo, mediante
un cuantificador existencial. Para afirmar, por ejemplo, que Mancha
tiene una hermana que es gato, escribiremos:
ƎxHermana(x, Mancha)^Gato(x)
Ǝ se lee: “Existe…” en general, ƎxP es verdadero si P es verdadero para cierto objeto
del universo. Por lo tanto, se le podría considerar equivalente a la
disyunción (es decir, v) de todas las oraciones obtenidas al sustituir
el nombre de un objeto por la variable x. Al efectuar esta sustitución en el caso de la oración anterior se obtiene:
(Hermana(Mancha, Mancha)^Gato(Mancha))v
(Hermana(Rebeca, Mancha)^Gato(Rebeca))v
(Hermana(Félix, Mancha)^Gato(Félix))v
(Hermana(Ricardo, Mancha)^Gato(Ricardo))v
(Hermana(Juan, Mancha)^Gato(Juan))v
La
oración existencialmente cuantificada es verdadera sólo cuando al menos
una de estas disyunciones es verdadera. Si Mancha tuviera dos hermanas
que fuesen gatos, entonces dos de las disyunciones serian verdaderas,
con lo que toda la disyunción es también verdadera. Lo anterior es
congruente con la oración original: “Mancha tiene una hermana que es
gato”.
